标签归档：dynamic programming

合唱队形

【问题描述】
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
　　合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。 　　你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 【输入格式 Input Format 】 输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。 【输出格式 Output Format】 输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。 【样例输入 Sample Input】 8 186 186 150 200 160 130 197 220 【样例输出 Sample Output】 4 【算法分析】 最长上升子序列 【代码】 

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 200
int main()
{
       int n, a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], i, j, max;
       scanf("%d", &n);
 
       for (i = 1; i <= n; i++)
              scanf("%d", &a[i]);
 
       memset(b, 0, sizeof(a));
       memset(c, 0, sizeof(c));
 
       b[1] = 1;
       for (i = 2; i <= n; i++)
       {
              max = 0;
              for (j = i - 1; j >= 1; j--)
              {
                     if (a[j] < a[i] && b[j] + 1 > max)
                            max = b[j];
              }
              b[i] = max + 1;
       }
 
       c[n] = 1;
       for (i = n - 1; i > 0; i--)
       {
 
              max = 0;
              for (j = i + 1; j <= n; j++)
              {
                     if (a[j] < a[i] && c[j] + 1 > max)                                  
                            max = c[j];
 
              }
              c[i] = max + 1;
       }
 
       max = b[1] + c[1];
 
       for (i = 2; i <= n; i++)
       {
              if (b[i] + c[i] > max)
                     max = b[i] + c[i];
       }
 
       printf("%d\n", n - max + 1);
       return 0;
}

滑雪 pku1088 动态规划

【Description】
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

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一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

【Input】
输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。 【Output】 输出最长区域的长度。 【Sample Input】 5 5 1 2 3 4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 【Sample Output】 25 【Source】 SHTSC 2002 

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package pku1088;
 
/**深度搜索+备忘录方法 / 动态规划   参考了pku牛人的解题报告*/
import java.util.*;
 
public class Main {
 
/**
   * @param args
   */
private static int[][] a = new int[101][101];
 
private static int[][] b = new int[101][101];// 备忘录
 
private static boolean[][] flag = new boolean[101][101];
 
private static int r, c;
 
private static int[] tempx = { 1, 0, -1, 0 };
 
private static int[] tempy = { 0, -1, 0, 1 };
 
public static int trydo(int x, int y) {
   if (flag[x][y])// 如果已经有了,直接输出,备忘录方法快就快在这里
    return b[x][y];
   int max = 1, temp;
   for (int i = 0; i < 4; i++) {// 四个方向
    int xx = x + tempx[i];
    int yy = y + tempy[i];
    if (xx >= 0 && xx < r && yy >= 0 && yy < c) {// 判断是否出界                                                           
     if (a[xx][yy] < a[x][y]) {// 如果要到的点到本点低
      temp = trydo(xx, yy);// 走下一个点
      if (temp + 1 > max)//
       max = temp + 1;
     }
    }
   }
   flag[x][y] = true;// 已经走过
   b[x][y] = max;// 存入备忘录
   return max;
 
}
 
public static void main(String[] args) {                                 
   // TODO Auto-generated method stub
   Scanner cin = new Scanner(System.in);
   r = cin.nextInt();
   c = cin.nextInt();
   for (int i = 0; i < r; i++) {
    for (int j = 0; j < c; j++) {
     a[i][j] = cin.nextInt();
     b[i][j] = 0;
     flag[i][j] = false;
    }
   }
   int max = 0;
   for (int i = 0; i < r; i++) {// 生成每个点的最大
    for (int j = 0; j < c; j++) {
     if (trydo(i, j) > max)
      max = trydo(i, j);
    }
   }
   System.out.println(max);
}
 
}

青蛙过河

【描述】
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

【输入格式 Input Format】
输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出格式 Output Format】

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

【算法描述】
转某牛人的解题报告！！！！
这道题在没看数据规模之前以为是一道简单的DP，但是数据开到十亿，无论在时间还是空间复杂度都过大，所以就要进行优化了。

解一：

简单方法：预期得分30。简单动态规划，f[i]代表青蛙跳到i点时所可能踩到的最少石子数，所以有f[i]=min{f[k]+map[i]}(i-s≤k≤i-t)，其中map[i]代表i上是否有石子，有是1，否则0。算法复杂度O(n^2)。

解二：

改进方法：预期得分100。我们会发现，虽然桥很长，但上面最多只有100个石子，想到能否用石子DP，而应该是不行的。那能否基于第一种方法？由于石子排布非常的疏，我们还会发现，如果两个石子相隔甚远，那他们中间的f[i]大部分将会是同一个数，能否把两个石子的距离缩短，使之还与原来等效？要是行的话怎么缩？王乃岩同学考试时做了一个方法能够过全部数据，用的滚动数组存储，下面列出了他的程序。我自己也写了个程序，和他不尽相同：我令L=stone[i]-stone[i-1]（stone[i]代表按坐标由小到大顺序排列的石块坐标），当L能够被t整除时（L%t==0），令k=t；当L不能被t整除时（L%t!=0），令k=L%t。然后令k为k+t，最后判断如果k>L，那么map[]数组中stone[i]和stone[i-1]两石头的距离就被等效成为L（也就是没变）；如果k<=L，那么map[]数组中stone[i]和stone[i-1]两石头的距离就被等效成为k，可以看出来，这样处理完，两石子最大间距为2*t，大大的缩短了数组，再按解一进行DP，就可以通过了。

【代码】

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
long stone[101];
int map[100001];
int f[100001];
long L;
int S, T, M; 
void quickSort(int l, int r)
{
	int i , j;
	long temp;
	i = l;
	j = r;
	temp = stone[i];
	while (i < j)
	{
		while (i < j && stone[j] > temp)
			j--;
		if (i < j)
		{
			stone[i] = stone[j];
			i++;
		}
		while (i < j && stone[i] < temp)                                                                        
			i++;
		if (i < j)
		{
			stone[j] = stone[i];
			j--;
		}
	}
	stone[i] = temp;
	if (i - 1 > l) quickSort(l, i - 1);
	if (i + 1 < r) quickSort(i + 1, r);
}
int main()
{
	int i, j;
	long l, k, p = 0, min;
	scanf("%ld%d%d%d", &L, &S, &T, &M);
	for (i = 1; i <= M; i++)
		scanf("%ld", &stone[i]);
	memset(map, 0, sizeof(int)*100001);
	memset(f, 0, sizeof(int)*100001);
	quickSort(1, M);
	stone[0] = 0;
	p = 0;
	for (i = 1; i <= M; i++)
	{
		l = stone[i] - stone[i - 1];
		if (l % T == 0) 
			k = T;
		else
			k = l % T;
		k = k + T;
		if (l < k)
			k = l;
		p = p + k;
		map[p] = 1;
	}
	for (i = 1; i <= p + T; i++)
	{
		min = 1000;
		for (j = i - T; j <= i - S; j++)
			if ( j >= 0 && f[j] < min)
				min = f[j];
		f[i] = min + map[i];
	}
	min = 1000;
	for (i = p + 1; i <= p + T; i++)
		if (f[i] < min)
			min = f[i];
	printf("%d\n", min);
	return 0;
}