迎春舞会之三人组舞
【问题描述】
背景 Background
HNSDFZ的同学们为了庆祝春节，准备排练一场舞
【描述 Description】
n个人选出3*m人，排成m组，每组3人。
站的队形——较矮的2个人站两侧，最高的站中间。
从对称学角度来欣赏，左右两个人的身高越接近，则这一组的“残疾程度”越低。
计算公式为 h=(a-b)^2 (a、b为较矮的2人的身高)
那么问题来了。
现在候选人有n个人，要从他们当中选出3*m个人排舞蹈，要求总体的“残疾程度”最低。
【输入格式 Input Format】
第一排为m，n。
第二排n个数字，保证升序排列。
【输出格式 Output Format】
输出最小“残疾程度”。
【样例输入 Sample Input】
9 40
1 8 10 16 19 22 27 33 36 40 47 52 56 61 63 71 72 75 81 81 84 88 96 98 103 110 113 118 124 128 129 134 134 139 148 157 157 160 162 164
【样例输出 Sample Output】
23
注释 Hint
m<=1000,n<=5000
数据保证3*m<=n
【算法分析】
从大到小排序 a[i]
f[i,j] 表示前i个数中有j对跳舞组合时的最优解
应为要最优就必须是排序时相邻两数的在两边才最好
而中间的人最高，记 f[i,j]=f[i-2,j-1]+(a[i]-a[i-1])^2
如果不取a[j]就 记 f[i,j]=f[i-1,j]
所以 f[i,j]=min{f[i,j]=f[i-2,j-1]+(a[i]-a[i-1])^2 | f[i,j]=f[i-1,j]}
huyichen
摘自一大牛语录:
首先将筷子长度从短到长排序。
F[i,j,0]表示i个人使用前j双筷子，且第j根筷子不用，所需要长度差的平方和的最小值。
F[i,j,1]表示i个人使用前j双筷子，且使用第j根筷子，所需要长度差的平方和的最小值。
则F[i,j,0]=min{f[i,j-1,1]，f[i,j-1,0]}，F[i,j,1]=F[i-1,j-1,0]+(l[j]-l[j-1])^2
ans=min{F[k,n,1]，F[k,n,0]}
算法复杂度为O(NK)。
算法正确性的简单证明：
因为筷子配对的时候要求是长度平方差最小，所以每根筷子的配对的时候总是希望和长度差最小的配对，即排序后相邻两根筷子是可以配对的。l[a]，l，l[c]，l[d]表示4根排序好的筷子。因为(l-l[a])^2+(l[d]-l[c])^2<(l-l[c])^2+(l[d]-l[a])^2，所以上述配对方法是正确的。
本题同样可以把模型直接转变为二分图最小权匹配。
将两根筷子相连的边权值标记为两根筷子长度平方差，然后对二分图求一次最小权匹配。可以使用网络流的最小费用K流的算法，寻找K次最短路的增广轨。
算法复杂度为O(KN^3)。
非常显然，动态规划的复杂度远远低于二分图最小权匹配的复杂度。
【代码】
#include
#include
int a[1001][5001];
int b[5001];
int main()
{
int n, m, i, j, k, temp;
scanf("%d%d", &m, &n);
memset(b, 0, sizeof(b));
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &b[i]);
for (i = 0; i <= m; i++)
{
for (j = 0; j <= n; j++)
a[i][j] = 2000000000;
}
for (i = 0; i <= n; i++)
a[0][i] = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
{
for (j = i + i; j <= n - (m - i) * 3; j++)
{
a[i][j] = a[i][j - 1];
temp = a[i - 1][j - 2] + (b[j] - b[j - 1]) * (b[j] - b[j - 1]);
if ( j < n - (m - i) * 3 && temp < a[i][j])
a[i][j] = temp;
}
}
printf("%d\n", a[m][n]);
return 0;
}